Le verbe « convenir » peut s’employer avec les deux auxiliaires, selon son sens (« Bon Usage », § 814 b 2°).

Quand il signifie « être approprié, plaire », il s’emploie avec « avoir ».

Exemple : La Bretagne leur aurait convenu… (G. Flaubert)

Quand il signifie « admettre, tomber d’accord avec quelqu’un », il s’emploie en principe avec l’auxiliaire « être ».

Exemple : Après une longue délibération, nous sommes convenus qu'il achètera un petit vaisseau tout équipé. (A. R. Lesage).

Cependant, dans ce sens, « convenir » s’emploi aussi avec le verbe « avoir », considéré comme fautif.

Exemple : Ils avaient convenu de se retrouver à Rome. (R. Rolland).

Cela peut être dû au souci d’invariabilité : employer « avoir » quel que soit le sens de « convenir » ou à la difficulté d’employer l’auxiliaire « être » dans une construction qui est sentie comme passive. C’est le cas dans la construction impersonnelle, qui signifie « il est décidé d'un commun accord » : Il fut convenu entre eux, par un accord tacite, qu'ils garderaient leur liberté. (É. Zola). À chacun de faire ce qui convient.